题目内容
如图，线段CD夹在二面角α-a-β内，C、D两点到棱a的距离分别为CA=6cm，DB=8cm．如果二面角α-a-β的平面角为60°，AB=4cm，求：（1）CD的长；
（2）CD与平面β所成的角正弦值．
考点：二面角的平面角及求法
专题：空间位置关系与距离,空间角
分析：（1）作AE∥DB，AE=DB，所以∠CAE为二面角α-a-β的平面角，由此能求出CD．
（2）过C作CF⊥AE于F，连结DF，由题意知∠CDF为CD与平面β所成的角，由此能求出CD与平面β所成的角的正弦值．
（2）过C作CF⊥AE于F，连结DF，由题意知∠CDF为CD与平面β所成的角，由此能求出CD与平面β所成的角的正弦值．
解答：
解：（1）作AE∥DB，AE=DB，
∴
∠CAE为所求二面角的平面角，
∴∠CAE=60°，CE=
，
∴CD=2
cm．
（2）过C作CF⊥AE于F，连结DF，
由题意知∠CDF为CD与平面β所成的角，
sin∠CDF=
．
∴CD与平面β所成的角的正弦值为
．
∴
∠CAE为所求二面角的平面角，∴∠CAE=60°，CE=
| 52 |
∴CD=2
| 17 |
（2）过C作CF⊥AE于F，连结DF，
由题意知∠CDF为CD与平面β所成的角，
sin∠CDF=
3
| ||
| 34 |
∴CD与平面β所成的角的正弦值为
3
| ||
| 34 |
点评：本题考查线段长的求法，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
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