Question

已知平面直角坐标系中，点O为原点，A（-3，-4），B（5，-12）．
（1）求cos∠AOB和△AOB的面积；
（2）若四边形AEBF为平行四边形，且

EF

=（1，1），求平行四边形AEBF的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由题意可得

OA

和

OB

的坐标，可得|

OA

|=5，|

OB

|=13，根据cos∠AOB=

OA • OB

| OA |•| OB |

的值，求得sin∠AOB 的值，从而求得△AOB的面积为

1

2

•|

OA

|•|

OB

|•sin∠AOB 的值．
（2）设点E（x，y），则点F（1+x，1+y），根据

AE

=

FB

求得x和y的值．再由

AE

•

AF

=0，可得AE⊥AF，
平行四边形AEBF为正方形，由此求得它的面积．

解答： 解：（1）由题意可得

OA

=（-3，-4），

OB

=（5，-12），∴|

OA

|=5，|

OB

|=13，
∴cos∠AOB=

OA • OB

| OA |•| OB |

=

-15+48

5×13

=

33

65

，∴sin∠AOB=

3136

65

，
△AOB的面积为

1

2

•|

OA

|•|

OB

|•sin∠AOB=

3136

2

．
（2）若四边形AEBF为平行四边形，且

EF

=（1，1），设点E（x，y），则点F（1+x，1+y），
根据

AE

=

FB

 可得 （x+3，y+4）=（4-x，-13-y），解得x=

1

2

，y=-

17

2

．
∴

AE

=（

7

2

，-

9

2

），

AF

=（

9

2

，-

7

2

），∴

AE

•

AF

=0，AE⊥AF，
故平行四边形AEBF为正方形，故它的面积为|

.

AE

|2=

49

4

+

81

4

=

65

2

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义、两个向量的数量积公式、正弦定理和余弦定理的应用，两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，属于中档题．