Question

设点A、B坐标分别为（0，-

2

），（0，

2

），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为-

2

3

．
（1）求点M轨迹C的方程；
（2）若过点D（2，0）的直线l与（1）中的轨迹C交于不同的两点E，F（E在D、F之间），试求△ODE与△ODF面积之比的取值范围（0为坐标原点）．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设M（x，y），由题意可得k_AM•k_BM=-

2

3

，利用斜率计算公式可得

y+ 2

x

•

y- 2

x

=-

2

3

（x≠0），化简即可；
（2）如图所示，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），（x₁＞0＞x₂）．则△ODE与△ODF面积之比等于|DE|：|DF|=λ，0＜λ＜1，λ=

2-x1

2-x2

．直线l的方程为y=k（x-2）（0＜y≤1）与圆的方程联立可得△＞0，再利用求根公式可得x₁，x₂，代入即可．

解答： 解：（1）设M（x，y），由题意可得k_AM•k_BM=-

2

3

，
∴

y+ 2

x

•

y- 2

x

=-

2

3

（x≠0），化为2x²+3y²=6（x≠0）．
∴点M轨迹C的方程为

x2

3

+

y2

2

=1（x≠0）；
（2）如图所示设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），（x₁＞0＞x₂）．
则△ODE与△ODF面积之比等于|DE|：|DF|=λ，0＜λ＜1，
∴λ=

2-x1

2-x2

．
直线l的方程为y=k（x-2）（k＜0），代入椭圆方程，
可得（2+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0，
由△=144k⁴-4（2+3k²）（12k²-6）＞0，解得-

2

2

＜k＜0．
∴x₂=

6k2- 12-6k2

2+3k2

，x₁=

6k2+ 12-6k2

2+3k2

，
∴λ=

2-x1

2-x2

=

4- 12-6k2

4+ 12-6k2

=-1+

8

4+ 12-6k2

．
由-

2

2

＜k＜0．
可得9-4

3

＜λ＜

15

7

．

点评：熟练掌握圆的标准方程、斜率计算公式、直线与圆相交问题转化为方程联立得到△＞0及利用求根公式得到实数根、函数的单调性等是解题的关键．