Question

已知x∈R，f(x)=

1

2

sin2x(

1

tan x 2

-tan

x

2

)+

3

2

cos2x．
（1）若0＜x＜

π

2

，求f（x）的单调的递减区间；
（2）若f(x)=

3

2

，求x的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由已知条件化切为弦，利用二倍角公式求出f（x）=sin（2x+

π

3

），由此能求出0＜x＜

π

2

时，f（x）的单调的递减区间．
（2）利用正弦函数的性质进行求解．

解答： 解：（1）∵f(x)=

1

2

sin2x(

1

tan x 2

-tan

x

2

)+

3

2

cos2x，
∴f(x)=

1

2

sin2x(

1+cosx

sinx

-

1-cosx

sinx

)+

3

2

cos2x
=

1

2

sin2x•

2cosx

sinx

+

3

2

cos2x=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x
=sin(2x+

π

3

)，
∵0＜x＜

π

2

，
∴

π

2

≤2x+

π

3

＜

4π

3

，
即

π

12

≤x＜

π

2

时，f（x）为减函数，
∴f（x）的递减区间为[

π

12

，

π

2

)．
（2）∵f（x）=sin(2x+

π

3

)=

3

2

，
∴x=kπ（k∈Z），或x=

π

6

+kπ(k∈Z)．

点评：本题考查三角函数的单调减区间的求法，考查给值求角问题，是中档题，解题时要熟练掌握二倍角公式，注意三角函数恒等式的灵活运用．