Question

已知函数f(x)=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(

1

2

)=

2

5

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求：f（x+1）．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的性质以及条件即可求函数f（x）的解析式；
（2）求出f（x）的表达式，代入即可求f（x+1）．

解答： 解：（1）∵函数f(x)=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，
∴f（0）=0，即f（0）=

b

1+0

=0，解得b=0．
此时f（x）=

ax

1+x2

，
∵f(

1

2

)=

2

5

．
∴f(

1

2

)=

2

5

=

1 2 a

1+( 1 2 )2

=

2a

5

，解得a=1．
∴f（x）=

ax

1+x2

=

x

1+x2

．
（2）∵f（x）=

x

1+x2

，
∴f（x+1）=

x+1

1+(x+1)2

=

x+1

x2+2x+2

．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数解析式的求法，考查学生的计算能力．