Question

如图，矩形ABCD所在的半平面和直角梯形CDEF所在的半平面成60°的二面角，DE∥CF，CD⊥DE，AD=2，EF=3

2

，CF=6，∠CFE=45°．
（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；
（Ⅱ）求直线AF与平面CDEF所成角的正切值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知条件，利用直线与平面、平面与平面的位置关系先推导出平面BCF∥平面ADF，由此能证明BF∥平面ADE．
（Ⅱ）由已知条件推导出面ADE⊥面CDEF，所以∠ADE就是二面角A-CD-F的平面角，为60°，作AO⊥DE于O，则AO⊥平面CDEF，连接OF，则∠AFO就是直线AF与平面CDEF所成角，由此能求出直线AF与平面CDEF所成角的正切值．

解答： 解：（Ⅰ）因为ABCD是矩形，所以BC∥AD，
又因为BC不包含于平面ADE，
所以BC∥平面ADE，
因为DE∥CF，CF不包含于平面ADE，
所以CF∥平面ADE，
又因为BC∩CF=C，所以平面BCF∥平面ADF，
而BF?平面BCF，所以BF∥平面ADE．…（5分）
（Ⅱ）因为

CD⊥DE CD⊥AD AD∩DE=D

⇒CD⊥面ADE，
又因为CD?面CDEF，
所以面ADE⊥面CDEF，…（10分）
因为CD⊥AD，CD⊥DE，
所以∠ADE就是二面角A-CD-F的平面角，为60°，…（11分）
因为平面CDEF⊥平面ADE，
作AO⊥DE于O，则AO⊥平面CDEF，连接OF，
所以∠AFO就是直线AF与平面CDEF所成角θ…（12分）
在Rt△AOD中，∵AD=2，∠ADE=60°，∴AO=

3

，
在直角梯形CDEF，
∵EF=3

2

，CF=6，∠CFE=45°，
∴2CD²=18，∴CD=3，
∴OF=

32+(6-1)2

=

34

，
所以tanθ=

AO

OF

=

102

34

，
所以直线AF与平面CDEF所成角的正切值为

102

34

．…（15分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成的角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．