Question

2．已知函数f（x）=x³-3x，则函数h（x）=f[f（x）]-c，c∈[-2，2]的零点个数（　　）

• A． 5或6个
• B． 3或9个
• C． 9或10个
• D． 5或9个

Answer 1

分析 利用换元法设t=f（x），求函数的导数判断函数的单调性和极值，结合数形结合即可得到结论．

解答 解：设t=f（x），则由y=f[f（x）]-c=0，
得f[f（x）]=c，
即f（t）=c，t=f（x），
函数f（x）的导数f′（x）=3-3x²，
由f′（x）＞0得-1＜x＜1，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得x＜-1或x＞1，此时函数单调递减，
即函数在x=1，取得极大值f（1）=3-1=2，
函数在x=-1，取得极小值f（-1）=-3+1=-2，
又由f（-2）=-2，f（2）=2得：

若f（t）=c，c∈（-2，2），则方程有三个解，
满足-2＜t₁＜-1，0＜t₂＜1，1＜t₃＜2，
则当-2＜t₁＜-1时，方程t=f（x），有3个根，
当0＜t₂＜1时，方程t=f（x），有3个根，
当1＜t₃＜2时，方程t=f（x），有3个根，
此时共有9个根，
若f（t）=c，c=2，则方程有两个解，
满足t₁=-2，t₂=1，
则当t₁=-2时，方程t=f（x），有2个根，
当t₂=1，有3个根，
此时共有5个根，
同理f（t）=c，c=-2时，也共有5个根
故选：D

点评 本题主要考查函数方程的应用，利用换元法，结合数形结合是解决本题的关键．