Question

如图1所示，在△ABC中，∠B=90°，D，E分别是AB，AC的中点，将△ADE沿DE折到△PDE的位置，使得∠PDB=60°，如图2所示，连接PB，PC，CD，O，F分别是BD，PB的中点，连接PO，DF，PC．
（1）求证：PO⊥平面BCED；
（2）求证：DF∥平面PCE；
（3）若DB=2，BC=

2

，求二面角F-CD-B的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得AB⊥BC且DE∥BC，DE⊥AB，DE⊥PD，从而DE⊥平面PDB，进而DE⊥PO，又PD=BD，O是BD中点，从而PO⊥BD，由此能证明PO⊥平面BCDE．
（2）取BC中点M，连结MF、MD，由此推导出平面PCF∥平面FMD，从而能证明DF∥平面PCE．
（3）以O为原点，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面FCD的法向量和平面BCD的法向量，利用向量法能求出二面角F-CD-B的大小．

解答： （1）证明：∵在△ABC中，∠B=90°，
D，E分别是AB，AC的中点，
∴AB⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AB，∴DE⊥PD，
又DE⊥BD，∴DE⊥平面PDB，又PO?平面PDB，
∴DE⊥PO，又PD=BD，O是BD中点，∴PO⊥BD，
∴PO⊥平面BCDE．
（2）证明：取BC中点M，连结MF、MD，
∵F是BD中点，DE

∥

.

1

2

BC，∴MF∥PC，DE∥EC，
∵FM∩DM=M，∴平面PCF∥平面FMD，
又DF?平面PCE，∴DF∥平面PCE．
（3）解：以O为原点，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
P（0，0，

3

），B（0，1，0），F（0，

1

2

，

3

2

），C（

2

，0，0），D（0，-1，0），

CD

=（-

2

，-1，0），

CF

=（-

2

，

1

2

，

3

2

），

CB

=（-

2

，1，0），
设平面FCD的法向量为

n

=（x，y，z），
则

n • CD =- 2 x-y=0 n • CF =- 2 x+ 1 2 y+ 3 2 z=0

，取x=1，得

n

=（1，-

2

，

6

3

），
平面BCD的法向量为

m

=（0，0，1），
设二面角F-CD-B的大小为θ，
cosθ=

| n • m |

| n |•| m |

=

6 3

3+ 2 3

=

22

11

．
∴二面角F-CD-B的大小为arccos

22

11

．

点评：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力．