Question

已知函数f（x）=x²-2acos（k+1）π•lnx（k∈N^*，a∈R且a＞0）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若k=2015，方程f （x）=2a x有惟一解时，求a的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数的零点,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出函数的定义域与导数，通过k是偶数时，k是奇数时，判断导函数的符号，推出函数的单调性即可．（2）通过k=2015，化简f（x）=x²-2alnx（k∈N^*），构造g（x）=x²-2axlnx-2ax，求出导数，通过f（x）=2ax有唯一解，转化为g（x）=0有唯一解；通过求解导数函数的极值单调性，然后判断求解a的值．

解答： （理科）解：（1）由已知得，x＞0且f′(x)=2x-(-1)k+1•

2a

x

．
当k是偶数时，则f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当k是奇数时，则 f′(x)=2x-

2a

x

=

2(x+ a )(x- a )

x

，
所以当x∈(0，

a

)时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，
故当k是偶数时，f（x）在(0，

a

)是减函数，在（a，+∞）是增函数．
（2）若k=2015，则f（x）=x²-2alnx（k∈N^*）
记g（x）=f（x）-2ax=x²-2axlnx-2ax，g′(x)=2x-

2a

x

-2a=

2

x

(x2-ax-a)，
若方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解；
令g'（x）=0，得x²-ax-a=0，
∵a＞0，x＞0∴x 1=

a- a2+4a

2

＜0（舍去）x 2=

a+ a2+4a

2

当x∈（0，x₂）时，g'（x）＜0，g（x）在（0，x₂）是单调递减函数；
当x∈（x₂，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）上是单调递增函数．
当x=x₂时，g'（x₂）=0，g（x）_min=g（x₂）．
∵g（x）=0有唯一解，∴g（x₂）=0
则

g(x2)=0 g′(x2)=0

，即

x22-2alnx2-2ax2=0 x22-ax 2-a=0

，
alnx₂+ax₂-a=0∵a＞0，∴2lnx₂+x₂-1=0（*）
设函数h（x）=2lnx+x-1，
∵在x＞0时，h（x）是增函数，∴h（x）=0至多有一解．
∵h（1）=0，∴方程（*）的解为x₂=1，即

a+ a2+4a

2

=1，解得a=

1

2

．

点评：本题考查函数的导数求解函数的单调性以及函数的极值，函数的零点个数，构造法的应用，考查分析问题解决问题的能力．