Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）上的一点M（2，m）（m＞0），M到焦点F的距离为

5

2

，A、B是抛物线C上异于M的两点，且MA⊥MB．
（1）求p和m的值；
（2）问直线AB是否恒过定点？若过定点，求出这个定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：探究型

分析：对第（1）问，由点M到焦点F的距离想到抛物线的定义，由此得到一个方程，将点M的坐标代入抛物线方程中，又得一个方程，可解得p和m的值；
对第（2）问，先设出直线AB的方程及A，B的坐标，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理及条件MA⊥MB进一步探究直线方程，最后根据直线方程的形式特征获得定值．

解答： 解：（1）∵点M（2，m）在抛物线C：y²=2px（p＞0）上，
由抛物线的定义知，2+

p

2

=

5

2

，得p=1，
从而抛物线C的方程为y²=2x，
将点M的坐标代入C的方程中，有m²=4（m＞0），
解得m=2．  
综上知，p=1，m=2．                
（2）由题意知，直线AB不与y轴垂直，可设直线AB的方程为x=ty+n，
又设A，B两点坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将x=ty+n代入y²=2x中，整理得关于y的一元二次方程y²-2ty-2n=0，
则此方程的两根为y₁，y₂，所以△=4t²+8n＞0，且y₁+y₂=2t，y₁•y₂=-2n；          
由MA⊥MB得（x₁-2）（x₂-2）+（y₁-2）（y₂-2）=0，
而x₁=ty₁+n，x₂=ty₂+n，y₁²=2x₁，y₂²=2x₂，
所以

(y1•y2)2

4

+y₁•y₂-2（t+1）（y₁+y₂）-4n+8=0，
将y₁+y₂=2t，y₁•y₂=-2n代入上式，化简并整理得（n-3）²=（2t+1）²，
得n-3=2t+1，或3-n=2t+1，即n=2t+4，或n=2-2t，
当n=2t+4时，联立x=ty+n消去n，得直线AB的方程为x=t（y+2）+4，
此时，△=4t²+8n=4t²+16t+32=4（t+2）²+16＞0，
可知直线AB过定点（4，-2）．
当n=2-2t时，得直线AB的方程为x=t（y-2）+2，此直线过定点M（2，2），不合题意．
综上知，直线AB恒过定点（4，-2）．

点评：对于直线是否过定点问题，可采取分离参数法，求解的一般思路与步骤是：
1．设直线方程；
2．联立直线与曲线方程，利用韦达定理与已知条件进行消参；
3．将剩余参数分离，调整直线方程的形式，从而获得定值．