Question

已知复数z₁=sin2x+λi，z2=m+(m-

3

cos2x)i（λ，m，x∈R），且z₁=z₂．
（1）设λ=f（x），求f（x）的最小正周期和单调递增区间．
（2）当x∈[0，

π

2

]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：复合三角函数的单调性,复数相等的充要条件,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：（1）通过复数的相等消去m，求出λ的表达式利用两角和与差的三角函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，求出函数的周期，利用正弦函数的单调增区间求解函数的单调增区间即可．
（2）通过函数的表达式求出相位的范围，利用正弦函数的值域求解函数的值域即可．

解答： 解：（1）z₁=z₂⇒

sin2x=m λ=m- 3 cos2x

…（1分）
⇒λ=sin2x-

3

cos2x=2sin（2x-

π

3

），…（3分）
所以函数f（x）的最小正周期为

2π

2

=π，…（4分）
因为2x-

π

3

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，k∈Z…（5分）
所以f（x）的单调递增区间为[2kπ-

π

12

，2kπ+

5π

12

]，k∈Z．（单调区间写成开区间不扣分）…（6分）
（2）当x∈[0，

π

2

]时，2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，…（7分）
所以sin（2x-

π

3

）∈[-

3

2

，1]，…（11分）
因此函数f（x）的值域为[-

3

，2]．…（12分）

点评：本题考查两角和与差的三角函数，复数相等，正弦函数的单调性周期的求法，考查计算能力．