Question

已知不等式|x+1|≤4的解集为A，记A中的最大元素为T，若正实数a，b，c满足a²+b²+c²=T，求a+2b+c的最大值．

Answer 1

考点：二维形式的柯西不等式

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：首先求出解集A，求出最大元素3，再运用柯西不等式：（ad+be+cf）²≤（a²+b²+c²）（d²+e²+f²），注意等号成立的条件：

a

d

=

b

e

=

c

f

．

解答： 解：∵不等式|x+1|≤4的解集A是[-5，3]，
∴A中的最大元素为3，即T=3，
∴a²+b²+c²=T=3，
由柯西不等式得（a+2b+c）²≤（1²+2²+1²）（a²+b²+c²）=18，
∵a，b，c均为正数，
∴a+2b+3c≤3

2

，
当且仅当

a

1

=

b

2

=

c

1

即a=

2

2

，b=

2

，c=

2

2

时，a+2b+c的最大值为3

2

．

点评：本题主要考查柯西不等式及运用，注意等号成立的条件，同时考查绝对值不等式的解法，是一道基础题．