Question

已知函数f(x)=sin(ωx+

π

6

)，(ω＞0)的周期是π．
（1）求ω和f(

π

12

)的值；
（2）求函数g(x)=f(x+

π

6

)+f(x-

π

12

)的最大值及相应x的集合．

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据函数的周期公式即可求ω和f(

π

12

)的值；
（2）将函数g（x）进行化简，然后利用三角函数的性质即可求函数的最大值．

解答： 解：（1）∵函数f(x)=sin(ωx+

π

6

)的周期是π，且ω＞0，
∴T=

2π

ω

=π，解得ω=2．
∴f(x)=sin(2x+

π

6

)．
∴f(

π

12

)=sin(2×

π

12

+

π

6

)=sin

π

3

=

3

2

．
（2）∵g(x)=f(x+

π

6

)+f(x-

π

12

)=sin[2(x+

π

6

)+

π

6

]+sin[2(x-

π

12

)+

π

6

]=sin(2x+

π

2

)+sin2x=cos2x+sin2x=

2

sin(2x+

π

4

)，
∴当2x+

π

4

=

π

2

+2kπ，k∈z，
即x=

π

8

+kπ时，g（x）取最大值

2

．
此时x的集合为{x|x=

π

8

+kπ，k∈Z}．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握函数的周期性和函数最值的求解方法．