Question

已知集合M={x|2x²-（2a+1）x+a＞0，a＞

1

2

}，集合N={x|?t∈R，使得t²+t+1≤x成立}，若x∈N是x∈M的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：分别求出集合M，N成立的等价条件，利用充分不必要条件的定义即可得到结论．

解答： 解：∵2x²-（2a+1）x+a＞0，
∴（x-a）（2x-1）＞0，
∵a＞

1

2

，
∴不等式的解为x＞a或x＜

1

2

，
即M={x|x＞a或x＜

1

2

}．
∵t²+t+1=（t+

1

2

）²+

3

4

≥

3

4

，
∴若?t∈R，使得t²+t+1≤x成立，
则x≥

3

4

，
即N={x|x≥

3

4

}．
若x∈N是x∈M的充分不必要条件，
则N?M，
即

1

2

＜a＜

3

4

，
∴实数a的取值范围是

1

2

＜a＜

3

4

．

点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式的性质求出M，N的等价条件是解决本题的关键．