Question

在坐标平面内横纵坐标均为整数的点称为格点．现有一只蚂蚁从坐标平面的原点出发，按如下线路沿顺时针方向爬过格点：O→A₁（1，0）→A₂（1，-1）→A₃（0，-1）→A₄（-1，-1）→A₅（-1，0）→A₆（-1，1））→A₇（0，1）→A₈（1，1）→A₉（2，1）→…→A₁₂（2，-2）→…→A₁₆（-2，-2）→…→A₂₀（3，2）→…，则蚂蚁在爬行过程中经过的第350个格点A₃₅₀坐标为

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件推导出以O为中心，边长为2n的正方形上共有格点a_n=8n个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为（n，n），由前n个正方形上格点的总数：S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=8+16+24+…+8n=

n(8+8n)

2

≥350，
得n≥9．由此能求出蚂蚁在爬行过程中经过的第350个格点A₃₅₀坐标．

解答： 解：以O为中心，边长为2的正方形上共有格点a₁=8个，
且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为（1，1）；
以O为中心，边长为4的正方形上共有格点a₂=16个，
且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为（2，2）；
以O为中心，边长为6的正方形上共有格点a₃=24个，
且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为（3，3）；
…
以O为中心，边长为2n的正方形上共有格点a_n=8n个，
且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为（n，n），
由前n个正方形上格点的总数：
S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=8+16+24+…+8n=

n(8+8n)

2

≥350，
得n≥9．
当n=9时，前9个正方形上格点的总数S9=

9(8+72)

2

=360，
且蚂蚁在第9个正方形（边长为18）上爬过的最后一个格点为A₃₆₀（9，9），
故蚂蚁在爬行过程中经过的第350个格点A₃₅₀坐标为（-1，9）．
故答案为：（-1，9）．

点评：本题考查蚂蚁在爬行过程中经过的第350个格点A₃₅₀坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意归纳法和等差数列前n项和公式的合理运用．