题目内容

已知函数f（x）=2cos2x+2
3
sinxcosx+a，且当x∈[0，
π
2
]时，f（x）的最小值为2．
（1）求a的值，并求f（x）的单调递增区间；
（2）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的
1
2
，再将所得图象向右平移
π
12
个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0，
π
2
]上所有根之和．
考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
专题：三角函数的图像与性质
分析：（1）化简可得f（x）=2sin（2x+
π
6
）+a+1，由题意易得-1+a+1=2，解方程可得a值，解不等式2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
可得单调区间；
（2）由函数图象变换可得g（x）=2sin（4x-
π
6
）+3，可得sin（4x-
π
6
）=
1
2
，解方程可得x=
π
12
或x=
π
4
，相加即可．
解答： 解：（1）化简可得f（x）=2cos2x+2
3
sinxcosx+a
=cos2x+1+
3
sin2x+a=2sin（2x+
π
6
）+a+1，
∵x∈[0，
π
2
]，
∴2x+
π
6
∈[
π
6
，
7π
6
]，
∴f（x）的最小值为-1+a+1=2，解得a=2，
∴f（x）=2sin（2x+
π
6
）+3，
由2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
可得kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-
π
3
，kπ+
π
6
]，（k∈Z）；

（2）由函数图象变换可得g（x）=2sin（4x-
π
6
）+3，
由g（x）=4可得sin（4x-
π
6
）=
1
2
，
∴4x-
π
6
=2kπ+
π
6
或4x-
π
6
=2kπ+
5π
6
，
解得x=
kπ
2
+
π
12
或x=
kπ
2
+
π
4
，（k∈Z），
∵x∈[0，
π
2
]，
∴x=
π
12
或x=
π
4
，
∴所有根之和为
π
12
+
π
4
=
π
3
．
点评：本题考查三角函数和差角的公式和三角函数图象的变换，属中档题．
练习册系列答案
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．
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1
2
，1]时恒有f（x）≥0，求b的取值范围；
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1
z
的值为
 
．
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．
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π
2
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存在“同域区间”的“同域函数”的序号是
 
（请写出所有正确的序号）
已知F（x，y）=（x+y）2+（
1
y
-
x
2
）2（y≠0），则F（x，y）的最小值是
 
．

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