Question

己知函数f（x）=x²+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y=0平行，若数列{

1

f(n)

}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₅的值为

 

．

Answer 1

考点：数列的求和,二次函数的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得f′（1）=2+b=3，从而b=1，进而

1

f(n)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此得到S_n=

n

n+1

，从而能求出S₂₀₁₅．

解答： 解：∵函数f（x）=x²+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y=0平行，
∴f′（x）=2x+b，f′（1）=2+b=3，解得b=1，
∴

1

f(n)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
∴S₂₀₁₅=

2015

2016

．
故答案为：

2015

2016

．

点评：本题考查数列的前2015项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．