Question

17．已知复数z=x+（x-a）i，若对任意实数x∈（1，2），恒有|z|＞|$\overline{z}$+i|，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，$\frac{1}{2}$]
• B． （-∞，$\frac{1}{2}$）
• C． [$\frac{3}{2}$，+∞）
• D． （$\frac{3}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 求出复数的模，把|z|＞|$\overline{z}$+i|，转化为a＜x$-\frac{1}{2}$（1＜x＜2）恒成立，再求出x-$\frac{1}{2}$的范围得答案．

解答 解：∵z=x+（x-a）i，且|z|＞|$\overline{z}$+i|恒成立，
∴$\sqrt{{x}^{2}+（x-a）^{2}}$＞$\sqrt{{x}^{2}+（1+a-x）^{2}}$，
两边平方并整理得：a＜x-$\frac{1}{2}$．
∵x∈（1，2），∴x-$\frac{1}{2}$∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
则a$≤\frac{1}{2}$．
∴实数a的取值范围为（-∞，$\frac{1}{2}$]．
故选：A．

点评 本题考查复数模的求法，考查恒成立问题的求解方法，运用了分离变量法，是中档题．