Question

7．如图，在四棱锥A-EFCB中，四边形EFCB是梯形，EF∥BC且EF=$\frac{3}{4}$BC，△ABC是边长为2的正三角形，顶点F在AC上射影为点G，且FG=$\sqrt{3}$，CF=$\frac{{\sqrt{21}}}{2}$，BF=$\frac{5}{2}$．
（1）证明：平面FGB⊥平面ABC；
（2）求三棱锥E-GBC的体积．

Answer 1

分析 （1）由顶点F在AC上投影为点G，得FG⊥AC．取AC的中点为O，连结OB，GB，推导出FG⊥BG，从而FG⊥面ABC，由此能证明面FGB⊥面ABC．
（Ⅱ）由V_E-GBC=V_F-GBC，能求出三棱锥E-GBC的体积．

解答 证明：（1）由顶点F在AC上投影为点G，
可知，FG⊥AC．
取AC的中点为O，连结OB，GB．
在Rt△FGC中，$FG=\sqrt{3}$，$CF=\frac{{\sqrt{21}}}{2}$，所以$CG=\frac{3}{2}$．
在Rt△GBO中，$OB=\sqrt{3}$，$OG=\frac{1}{2}$，所以$BG=\frac{{\sqrt{13}}}{2}$．
∴BG²+GF²=FB²，即FG⊥BG．
∵FG⊥AC，FG⊥GB，AC∩BG=G
∴FG⊥面ABC．
又FG⊆面FGB，∴面FGB⊥面ABC．
解：（Ⅱ）∵EF∥BC，EF?面ABC，BC⊆面ABC
∴EF∥面ABC．V_E-GBC=V_F-GBC
∴三棱锥E-GBC的体积${V_{E-GBC}}={V_{F-GBC}}=\frac{1}{3}×{S_{△GBC}}×h=\frac{1}{3}×\frac{{3\sqrt{3}}}{4}×\sqrt{3}=\frac{3}{4}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等知识点，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．