Question

12．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3x+2}{x+1}，x∈（-1，0]}\\{x，x∈（0，1]}\end{array}\right.$且g（x）=mx+m，若g（x）=f（x）在（-1，1]内有且仅有两个不同的根，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-$\frac{9}{4}$，-2]∪（0，$\frac{1}{2}$]
• B． （-$\frac{11}{4}$，-2]∪（0，$\frac{1}{2}$]
• C． （-$\frac{9}{4}$，-2]∪（0，$\frac{2}{3}$]
• D． （-$\frac{11}{4}$，-2]∪（0，$\frac{2}{3}$]

Answer 1

分析 由g（x）=f（x）-mx+m=0，即f（x）=m（x+1），作出函数f（x）和y=h（x）=m（x+1）的图象，利用数形结合即可得结论．

解答 解：g（x）=f（x）-mx+m=0，即f（x）=m（x+1），
分别作出函数f（x）和y=h（x）=m（x+1）的图象如图：
由图象可知f（1）=1，h（x）表示过定点A（-1，0）的直线，
当h（x）过（1，1）时，m=$\frac{1}{2}$，此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m的取值范围是$0＜m≤\frac{1}{2}$，
当h（x）过（0，-2）时，h（0，-2），解得m=-2，此时两个函数有两个交点，
当h（x）与f（x）相切时，两个函数只有一个交点，此时$-\frac{3x+2}{x+1}$=m（x+1），即m（x+1）²+3x+2=0，
当m=0时，$x=-\frac{2}{3}$，只有一解，当m≠0时，由△=9+4m=0得$m=-\frac{9}{4}$，此时直线和f（x）相切，
∴要使函数有两个零点，则$-\frac{9}{4}＜m≤-2$，或$0＜m≤\frac{1}{2}$．
∴实数m的取值范围是：（-$\frac{9}{4}$，-2]∪（0，$\frac{1}{2}$]．
故选：A．

点评 本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，属于中档题．