题目内容
设函数y=f（x）的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意x∈D，都有f（x+T）=T•f（x），则称函数y=f（x）是“似周期函数”，非零常数T为函数y=f（x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：
①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为-1，那么它是周期为2的周期函数；
②函数f（x）=x是“似周期函数”；
③函数f（x）=2-x是“似周期函数”；
④如果函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，那么“ω=kπ，k∈Z”．
其中是真命题的序号是 ．（写出所有满足条件的命题序号）
①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为-1，那么它是周期为2的周期函数；
②函数f（x）=x是“似周期函数”；
③函数f（x）=2-x是“似周期函数”；
④如果函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，那么“ω=kπ，k∈Z”．
其中是真命题的序号是
考点：抽象函数及其应用
专题：计算题,函数的性质及应用
分析：由题意，首先理解似周期函数的定义，从而解得．
解答：
解：①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为-1，
则f（x-1）=-f（x），即
f（x-1）=-f（x）=-（-f（x+1））=f（x+1）；
故它是周期为2的周期函数；故正确；
②若函数f（x）=x是“似周期函数”，
则存在非零常数T，使f（x+T）=T•f（x），
即x+T=Tx；故（1-T）x+T=0恒成立；
故不存在T．故假设不成立，故不正确；
③若函数f（x）=2-x是“似周期函数”，
则存在非零常数T，使f（x+T）=T•f（x），
即2-x-T=T•2-x，
即（T-2-T）•2-x=0；
而令y=x-2-x，作图象如下，
故存在T＞0，使T-2-T=0；故正确；
④若函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，
则存在非零常数T，使f（x+T）=T•f（x），
即cos（ωx+ωT）=Tcosωx；
故T=1或T=-1；
故“ω=kπ，k∈Z”．故正确；
故答案为：①③④．
则f（x-1）=-f（x），即
f（x-1）=-f（x）=-（-f（x+1））=f（x+1）；
故它是周期为2的周期函数；故正确；
②若函数f（x）=x是“似周期函数”，
则存在非零常数T，使f（x+T）=T•f（x），
即x+T=Tx；故（1-T）x+T=0恒成立；
故不存在T．故假设不成立，故不正确；
③若函数f（x）=2-x是“似周期函数”，
则存在非零常数T，使f（x+T）=T•f（x），
即2-x-T=T•2-x，
即（T-2-T）•2-x=0；
而令y=x-2-x，作图象如下，
故存在T＞0，使T-2-T=0；故正确；
④若函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，
则存在非零常数T，使f（x+T）=T•f（x），
即cos（ωx+ωT）=Tcosωx；
故T=1或T=-1；
故“ω=kπ，k∈Z”．故正确；
故答案为：①③④．
点评：本题考查了学生对新定义的接受与应用能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
执行如图所示的程序框图，输出a的值是（ ）
| A、4 | B、8 | C、16 | D、32 |
已知平面向量
=（1，x），
=（2，-y），且
⊥
，则|
+
|的最小值为（ ）
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| A、1 | ||
B、
| ||
C、
| ||
| D、3 |
函数y=loga（x+2）+1的图象过定点（ ）
| A、（-2，1） |
| B、（2，1） |
| C、（-1，1） |
| D、（1，1） |