Question

已知等差数列{a_n}的公差为2，若a₁，a₄，a₁₃成等比数列，数列{a_n}前O项和为S_n．
（Ⅰ）求a_n和S_n；
（Ⅱ）求数列{

1

Sn

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）

1

sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，利用“裂项求和”即可得出．

解答： 解：（1）∵a₁，a₄，a₁₃成等比数列，
∴a42=a1a13，
即(a1+3d)2=a1(a1+12d)，
又d=2，解得a₁=3，
则a_n=3+2（n-1）=2n+1，
S_n=

n(2n+1+3)

2

=n（n+2）．
（2）

1

sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
∴Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+…+(

1

n-1

+

1

n+1

)+(

1

n

+

1

n+2

)]
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．