Question

已知数列{a_n}是等差数列，满足a₂=3，a₅=6，数列{b_n-2a_n}是公比为3等比数列，且b₂-2a₂=9．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）分解等差数列和等比数列的性质建立方程关系即可求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用分组求和法即可求数列{b_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）由a₂=3，a₅=6得

a1+d=3 a1+4d=6

，解得a₁=2，d=1，
则a_n=2+n-1=n+1．
∵数列{b_n-2a_n}是公比为3等比数列，且b₂-2a₂=9．
∴b₁-2a₁=b₁-4=3，解得b₁=7，
则b_n-2a_n=3•3^n-1=3ⁿ，
则b_n=2a_n+3ⁿ=2（n+1）+3ⁿ；
（Ⅱ）∵b_n=2a_n+3ⁿ=2（n+1）+3ⁿ；
∴数列{b_n}的前n项和S_n=[2×2+2×3+…+2（n+1）]+（3+3²+3³+…+3ⁿ]=

[4+2(n+1)]n

2

+

3(1-3n)

1-3

=n（3+n）+

3

2

（3ⁿ-1）．

点评：本题主要考查数列的通项公式以及数列和的求解，利用分组求和法以及等比数列和等差数列的求和公式是解决本题的关键．