Question

若对于任意的n∈N^*，n²+（a-4）n+3+a≥0恒成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：依题意，得a≥-（n+1）-

8

n+1

+6恒成立，构造函数g（n）=（n+1）+

8

n+1

，由于n∈N^*，利用“双钩函数”的单调性质可求得g（n）_min=g（2）=

17

3

，[-（n+1）-

8

n+1

]_max=-g（n）_min=-

17

3

，于是可求得实数a的取值范围．

解答： 解：n²+（a-4）n+3+a≥0恒成立?（n+1）a≥-n²+4n-3=-（n+1）²+6（n+1）-8恒成立，
∵n∈N^*，
∴a≥-（n+1）-

8

n+1

+6恒成立，
∴a≥[-（n+1）-

8

n+1

]_max+6恒成立；
∵双钩函数g（n）=（n+1）+

8

n+1

在[1，2

2

-1]上单调递减，在[2

2

-1，+∞）上单调递增，又n∈N^*，
g（1）=2+4=6，g（2）=3+

8

3

＜g（3）=6，
∴g（n）_min=g（2）=

17

3

，[-（n+1）-

8

n+1

]_max=-g（n）_min=-

17

3

，
∴m＞-

17

3

+6=

1

3

，
∴实数a的取值范围是[

1

3

，+∞），
故答案为：[

1

3

，+∞）．

点评：本题考查函数恒成立问题，考查等价转化思想与构造函数的思想，考查“双钩函数”的单调性质，属于中档题．