Question

已知函数f（x）=e^x（ax+b）-x²-4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=4x+4．
（1）求a，b的值．
（2）讨论函数f（x）的单调区间，并求函数f（x）的极值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的概念及应用

分析：（1）由已知得f（0）=4，f′（0）=4．故b=4，a+b=8，从而a=4，b=4．
（2）由（1）知，f（x）=4e^x（x+1）-x²-4x，得f′(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)(ex-

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)．故f（x）在（-∞，-2），（-ln2，+∞）上单调递增，在（-2，-ln2）上单调递减．从而当x=-2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（-2）=4（1-e^-2）．

解答： 解：（1）f′（x）=e^x（ax+a+b）-2x-4，
由已知得f（0）=4，f′（0）=4．
故b=4，a+b=8，
∴a=4，b=4．
（2）由（1）知，f（x）=4e^x（x+1）-x²-4x，
∴f′(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)(ex-

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2

)．
令f′（x）=0，得x=-ln2或x=-2，
从而当x∈（-∞，-2）∪（-ln2，+∞）时，f′（x）＞0；
当x∈（-2，-ln2）时，f′（x）＜0；
故f（x）在（-∞，-2），（-ln2，+∞）上单调递增，在（-2，-ln2）上单调递减．
∴当x=-2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（-2）=4（1-e^-2）．

点评：本题考察了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，是一道基础题．