Question

（1）在（x-

2

）²⁰⁰⁴的二项式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x=

2

时，求S．
（2）已知（x²-

i

x

）ⁿ的展开式中第三项与第五项的系数之比为-

3

14

，求展开式中常数项．
（3）若多项式x²+x¹⁰=a₀+a₁（x+1）+…+a₉（x+1）⁹+a₁₀（x+1）¹⁰，求a₉．

Answer 1

考点：二项式定理的应用,二项式系数的性质

专题：综合题,二项式定理

分析：（1）利用二项式定理将二项式展开，令x分别取

2

，-

2

得到两个等式，两式相减，化简即可求s的值；
（2）利用二项展开式的通项公式求出展开式中第三项与第五项的系数，列出方程求出n；利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出常数项；
（3）先求x¹⁰的系数，再由a₉+C₁₀⁹•a₁₀，可求x⁹的系数，即可得答案．

解答： 解：（1）设（x-

2

）²⁰⁰⁶=a₀x²⁰⁰⁶+a₁x²⁰⁰⁵+…+a₂₀₀₅x+a₂₀₀₆；
则当x=

2

时，有a₀（

2

）²⁰⁰⁶+a₁（

2

）²⁰⁰⁵+…+a₂₀₀₅（

2

）+a₂₀₀₆=0①，
当x=-

2

时，有a₀（

2

）²⁰⁰⁶-a₁（

2

）²⁰⁰⁵+…-a₂₀₀₅（

2

）+a₂₀₀₆=2³⁰⁰⁹②，
①-②有a₁（

2

）²⁰⁰⁵+…+a₂₀₀₅（

2

）=-2³⁰⁰⁹÷2=-2³⁰⁰⁸；
（2）第三项的系数为-

C

2 n

，第五项的系数为

C

4 n

，由第三项与第五项的系数之比为-

3

14

可得n=10，则Tr+1=

C

r 10

(x2)10-r(-

i

x

)r=(-i)r

C

r 10

x

40-5r

2

，
令40-5r=0，解得r=8，故所求的常数项为(-i)8

C

8 10

=45；
（3）x¹⁰的系数为a₁₀，∴a₁₀=1，x⁹的系数为a₉+C₁₀⁹•a₁₀，∴a₉+10=0，∴a₉=-10．

点评：本题主要考查二项式定理的运用，二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．