Question

在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．
（1）求A的值；
（2）若a=2，求△ABC面积的最大值及此时b的值．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinB不为0求出sinA的值，即可确定出A的度数；
（2）由a，cosA的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式变形求出bc的最大值，即可确定出三角形面积的最大值，并求出此时b的值即可．

解答： 解：（1）由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

化简2asinB=b，得2sinAsinB=sinB，
∵sinB≠0，
∴sinA=

1

2

，
∵△ABC是锐角三角形，
∴A=30°；              
（2）∵A=30°，a=2，
∴由余弦定理得：4=b²+c²-2bccos30°=b²+c²-

3

bc≥（2-

3

）bc，
∴bc≤4（2+

3

），
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA≤

1

4

×4（2+

3

）=2+

3

，
当且仅当b=c=

6

+

2

时，△ABC的面积取最大值2+

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键．