Question

某种商品，现在定价p元，每月卖出n件，设定价上涨x成，每月卖出数量减少y成，每月售货总金额变成现在的z倍．
（1）用x和y表示z；
（2）设x与y满足y=kx（0＜k＜1），利用k表示当每月售货总金额最大时x的值；
（3）若y=

2

3

x，求使每月售货总金额有所增加的x值的范围．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）定价上涨x成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是p（1+

x

10

），n（1-

y

10

），npz，写出要的算式，即可求出答案；
（2）在y=kx的条件下，z=-

k

100

x²+

1-k

10

x+1，利用二次函数的性质，可用k表示当每月售货总金额最大时x的值；
（3）把所给的关系代入关系式，使得式子大于1，解出关于x的不等式，得到结果．

解答： 解：（1）按现在的定价上涨x成时，上涨后的定价为p（1+

x

10

）元，每月卖出数量为n（1-

y

10

）件，每月售货总金额是npz元，
因而npz=p（1+

x

10

）•n（1-

y

10

），所以z=（1+

x

10

）（1-

y

10

）．
（2）在y=kx的条件下，z=-

k

100

x²+

1-k

10

x+1，
对称轴x=

5(1-k)

k

，
∵0＜k＜1，∴

5(1-k)

k

＞0．∴当x=

5(1-k)

k

时，z有最大值．
（3）当y=

2

3

x时，z=

(10+x)(10- 2 3 x)

100

，
要使每月售货总金额有所增加，即z＞1，
应有（10+x）•（10-

2

3

x）＞100，即x（x-5）＜0．所以0＜x＜5．
∴所求x的范围是（0，5）．

点评：本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，解一元二次方程等知识点，解此题的关键是把实际问题转化成数学问题，这是一道很好的题目．