Question

设函数f（x）=

1

3

ax³+

1

2

bx²+（1-2a）x，a，b∈R，a≠0．
（1）若b=4a，求f（x）的单调递增区间；
（2）若曲线y=f（x）与x轴相切于异于原点的一点，且f（x）的极小值为-

4

3

a，求a，b的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可求f（x）的单调递增区间；
（2）依据题意得：依据题意得：

9b2

16a2

=

3-6a

a

≠0，得到a，b之间的关系式，再根据极小值，则求导求出极小值点，得到关于a，b的另外一个等式，即可求出a，b的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

3

ax³+

1

2

bx²+（1-2a）x，
∴f′（x）=ax²+4ax²+（1-2a）．
令f′（x）=0，△=4a（6a-1）
当a＜0或a＞

1

6

时，由f′（x）=0得x=-2±

6a2-a

a

．
①当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（-2+

6a2-a

a

，-2-

6a2-a

a

）；…（3分）
②当0＜a≤

1

6

时，f（x）的单调递增区间为R；…（5分）
③当a＞

1

6

时，f（x）的单调递增区间为（-∞，-2-

6a2-a

a

），（-2+

6a2-a

a

，+∞）…（7分）
（2）依据题意得：

9b2

16a2

=

3-6a

a

≠0，
f′（x）=a（x+

3b

4a

）（x+

b

4a

）=0，得x=-

3b

4a

或x=-

b

4a

．
如图，得f（-

b

4a

）=-

4

3

a，
∴

a

3

(-

b

4a

)(-

b

4a

+

3b

4a

)2=-

4

3

a，则b=4a，
代入

9b2

16a2

=

3-6a

a

得，b=

4

5

，a=

1

5

．…（15分）

点评：本题以函数为载体，考查含参二次不等式，考查导数知识的运用，考查曲线的切线，同时考查零点存在性定理，综合性比较强．