题目内容
设实系数三次多项式P（x）=x3+ax2+bx+c有三个非零实数根．求证：6a3+10（a2-2b）
-12ab≥27c．
| 3 |
| 2 |
考点：不等式的证明
专题：证明题,不等式的解法及应用
分析：设α，β，γ为p（x）=0的三个根，由根与系数关系α+β+γ=-a，αβ+βγ+γα=b，αβγ=-c得：a2-2b=α2+β2+γ2．原式可变形为6（α+β+γ）（α2+β2+γ2）-10（α2+β2+γ2）
≤27αβγ，分类讨论，不妨设α2+β2+γ2=9，则γ2≥3，2αβ≤α2+β2=9-γ2≤6．①变形为2（α+β+γ）-αβγ≤10，即可得出结论．
| 3 |
| 2 |
解答：
证明：设α，β，γ为p（x）=0的三个根，由根与系数关系α+β+γ=-a，αβ+βγ+γα=b，αβγ=-c
得：a2-2b=α2+β2+γ2．
原式可变形为6（α+β+γ）（α2+β2+γ2）-10（α2+β2+γ2）
≤27αβγ ①．
若α2+β2+γ2=0，则①成立．
若α2+β2+γ2＞0，不妨设|α|≤|β|≤|γ|，
由①的齐次性，不妨设α2+β2+γ2=9，则γ2≥3，2αβ≤α2+β2=9-γ2≤6．
①变形为2（α+β+γ）-αβγ≤10．
因[2（α+β+γ）-αβγ]2=[2（α+β）+（2-αβ）γ2]≤[4+（2-αβ）2][（α+β）2+γ2]
=（αβ+2）2（2αβ-7）+100≤100，
所以，2（α+β+γ）-αβγ≤10．故原式成立．
得：a2-2b=α2+β2+γ2．
原式可变形为6（α+β+γ）（α2+β2+γ2）-10（α2+β2+γ2）
| 3 |
| 2 |
若α2+β2+γ2=0，则①成立．
若α2+β2+γ2＞0，不妨设|α|≤|β|≤|γ|，
由①的齐次性，不妨设α2+β2+γ2=9，则γ2≥3，2αβ≤α2+β2=9-γ2≤6．
①变形为2（α+β+γ）-αβγ≤10．
因[2（α+β+γ）-αβγ]2=[2（α+β）+（2-αβ）γ2]≤[4+（2-αβ）2][（α+β）2+γ2]
=（αβ+2）2（2αβ-7）+100≤100，
所以，2（α+β+γ）-αβγ≤10．故原式成立．
点评：本题考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，难度大．
练习册系列答案
相关题目
如图所示．△ABC中，∠B=90°，M为AB上一点，使得AM=BC，N为BC上一点，