Question

已知圆O：x²+y²=1和点A（-2，0），若定点B（b，0）（b≠-2）和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|=λ|MA|，则：
（Ⅰ）b=

 

；
（Ⅱ）λ=

 

．

Answer 1

考点：三点共线

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）利用|MB|=λ|MA|，可得（x-b）²+y²=λ²（x+2）²+λ²y²，由题意，取（1，0）、（-1，0）分别代入，即可求得b；
（Ⅱ）取（1，0）、（-1，0）分别代入，即可求得λ．

解答： 解：解法一：设点M（cosθ，sinθ），则由|MB|=λ|MA|得（cosθ-b）²+sin²θ=λ²[（cosθ+2）²+sin²θ]，即
-2bcosθ+b²+1=4λ²cosθ+5γ²对任意θ都成立，所以

-2b=4λ2 b2+1=5λ2

．又由|MB|=λ|MA|得λ＞0，且b≠-2，解得

b=- 1 2 λ= 1 2

．
解法二：（Ⅰ）设M（x，y），则
∵|MB|=λ|MA|，
∴（x-b）²+y²=λ²（x+2）²+λ²y²，
由题意，取（1，0）、（-1，0）分别代入可得（1-b）²=λ²（1+2）²，（-1-b）²=λ²（-1+2）²，
∴b=-

1

2

，λ=

1

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知λ=

1

2

．
故答案为：-

1

2

，

1

2

．

点评：本题考查圆的方程，考查赋值法的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．