Question

函数f（x）=ax³+3x²+3x（a≠0）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数的导数，通过导数为0，利用二次函数的根，通过a的范围讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a＞0，x＞0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，推出f′（1）≥0且f′（2）≥0，即可求a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=ax³+3x²+3x，
∴f′（x）=3ax²+6x+3，
令f′（x）=0，即3ax²+6x+3=0，则△=36（1-a），
①若a≥1时，则△≤0，f′（x）≥0，∴f（x）在R上是增函数；
②因为a≠0，∴当a≤1，△＞0，f′（x）=0方程有两个根，x₁=

-1+ 1-a

a

，x₂=

-1- 1-a

a

，
当0＜a＜1时，则当x∈（-∞，x₂）或（x₁，+∞）时，f′（x）＞0，故函数在（-∞，x₂）或（x₁，+∞）是增函数；在（x₂，x₁）是减函数；
当a＜0时，则当x∈（-∞，x₁）或（x₂，+∞），f′（x）＜0，故函数在（-∞，x₁）或（x₂，+∞）是减函数；在（x₁，x₂）是增函数；

（Ⅱ）当a＞0，x＞0时，f′（x）=3ax²+6x+3＞0 故a＞0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，
当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，
当且仅当：f′（1）≥0且f′（2）≥0，解得-

5

4

≤a＜0，
a的取值范围[-

5

4

，0）∪（0，+∞）．

点评：本题考查函数的导数的应用，判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量的范围，考查分类讨论思想的应用．