Question

1．已知函数f（x）=$\frac{（x+2）（x-t）}{{x}^{2}}$为偶函数．
（1）求实数t值；
（2）记集合E={y|y=f（x），x∈{1，2，3}}，λ=lg²2+lg2lg5+lg5-1，判断λ与E的关系；
（3）当x∈[a，b]（a＞0，b＞0）时，若函数f（x）的值域为[2-$\frac{5}{a}$，2-$\frac{5}{b}$]，求实数a，b的值．

Answer 1

分析 （1）根据函数的奇偶性求出t的值；
（2）由（1）求出f（x）的解析式，求出E的元素，求出λ的值，判断即可；
（3）根据函数的单调性得到关于a，b的方程组，解出即可．

解答 解：（1）∵f（x）是偶函数，
∴$\frac{（x+2）（x-t）}{{x}^{2}}$=$\frac{（-x+2）（-x-t）}{{x}^{2}}$，
∴2（t-2）x=0，
∵x是非0实数，故t-2=0，解得：t=2；
（2）由（1）得，f（x）=$\frac{{x}^{2}-4}{{x}^{2}}$，
∴E={y|y=f（x），x∈{1，2，3}}={-3，0，$\frac{5}{9}$}，
而λ=lg²2+lg2lg5+lg5-1=lg2+lg5-1=0，
∴λ∈E；
（3）∵f（x）=1-$\frac{4}{{x}^{2}}$，
∴f（x）在[a，b]递增，
∵函数f（x）的值域是[2-$\frac{5}{a}$，2-$\frac{5}{b}$]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=1-\frac{4}{{a}^{2}}=2-\frac{5}{a}}\\{f（b）=1-\frac{4}{{b}^{2}}=2-\frac{5}{b}}\end{array}\right.$，
∵b＞a＞0，
解得：a=1，b=4．

点评 本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查集合和元素的关系，是一道中档题．