Question

16．在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD和BC的中点，若$\overrightarrow{AE}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$（x，y∈R），则2x+y=2；若$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AE}$+μ$\overrightarrow{AF}$（λ，μ∈R），则3λ+3μ=4．

Answer 1

分析 利用向量三角形法则、平行四边形法则、平面向量基本定理即可得出．

解答 解：如图所示，
①$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，
与$\overrightarrow{AE}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$（x，y∈R）比较可得：x=$\frac{1}{2}$，y=1．
则2x+y=2．
②由②可得：$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，
同理可得：$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AE}$+μ$\overrightarrow{AF}$=λ（$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$）+μ（$\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AB}$）=$（λ+\frac{1}{2}μ）$$\overrightarrow{AD}$+$（\frac{1}{2}λ+μ）$$\overrightarrow{AB}$，
又$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}$，
∴$λ+\frac{1}{2}μ$=1，$\frac{1}{2}λ+μ$=1．
则3λ+3μ=4．
故答案为：2，4．

点评 本题考查了向量三角形法则、平行四边形法则、平面向量基本定理、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．