题目内容

8.甲、乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完$\frac{2}{3}$局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为$\frac{2}{3}$,乙获胜的概率为$\frac{1}{3}$,各局比赛结果相互独立.
(Ⅰ)求甲在4局以内(含 4 局)赢得比赛的概率;
(Ⅱ)记 X 为比赛决出胜负时的总局数,求X的分布列和数学期望.

分析 (Ⅰ)根据概率的乘法公式,求出对应的概率,即可得到结论.
(Ⅱ)利用离散型随机变量分别求出对应的概率,即可求X的分布列;以及数学期望.

解答 解:(I)用A表示甲在4局以内(含4局)赢得比赛的是事件,Ak表示第k局甲获胜,Bk表示第k局乙获胜,
则P(Ak)=$\frac{2}{3}$,P(Bk)=$\frac{1}{3}$,k=1,2,3,4,5
P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)=($\frac{2}{3}$)2+$\frac{1}{3}×$($\frac{2}{3}$)2+$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$×($\frac{2}{3}$)2=$\frac{56}{81}$.
(Ⅱ)X的可能取值为2,3,4,5.
P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=$\frac{5}{9}$,
P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)=$\frac{2}{9}$,
P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)=$\frac{10}{81}$,
P(X=5)=P(A1B2A3B4A5)+P(B1A2B3A4B5)+P(B1A2B3A4A5)+P(A1B2A3B4B5)=$\frac{8}{81}$,
或者P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=$\frac{8}{81}$,
故分布列为:

 X 2 3 4 5
 P $\frac{5}{9}$ $\frac{2}{9}$ $\frac{10}{81}$ $\frac{8}{81}$
E(X)=2×$\frac{5}{9}$+3×$\frac{2}{9}$+4×$\frac{10}{81}$+5×$\frac{8}{81}$=$\frac{224}{81}$.

点评 本题考查了相互独立事件、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网