题目内容
8.甲、乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完$\frac{2}{3}$局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为$\frac{2}{3}$,乙获胜的概率为$\frac{1}{3}$,各局比赛结果相互独立.(Ⅰ)求甲在4局以内(含 4 局)赢得比赛的概率;
(Ⅱ)记 X 为比赛决出胜负时的总局数,求X的分布列和数学期望.
分析 (Ⅰ)根据概率的乘法公式,求出对应的概率,即可得到结论.
(Ⅱ)利用离散型随机变量分别求出对应的概率,即可求X的分布列;以及数学期望.
解答 解:(I)用A表示甲在4局以内(含4局)赢得比赛的是事件,Ak表示第k局甲获胜,Bk表示第k局乙获胜,
则P(Ak)=$\frac{2}{3}$,P(Bk)=$\frac{1}{3}$,k=1,2,3,4,5
P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)=($\frac{2}{3}$)2+$\frac{1}{3}×$($\frac{2}{3}$)2+$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$×($\frac{2}{3}$)2=$\frac{56}{81}$.
(Ⅱ)X的可能取值为2,3,4,5.
P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=$\frac{5}{9}$,
P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)=$\frac{2}{9}$,
P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)=$\frac{10}{81}$,
P(X=5)=P(A1B2A3B4A5)+P(B1A2B3A4B5)+P(B1A2B3A4A5)+P(A1B2A3B4B5)=$\frac{8}{81}$,
或者P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=$\frac{8}{81}$,
故分布列为:
| X | 2 | 3 | 4 | 5 |
| P | $\frac{5}{9}$ | $\frac{2}{9}$ | $\frac{10}{81}$ | $\frac{8}{81}$ |
点评 本题考查了相互独立事件、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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| A. | $3\sqrt{3}$ | B. | $2\sqrt{6}$ | C. | $\sqrt{21}$ | D. | $2\sqrt{5}$ |
16.某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响,随机选取100名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试.测试的方案:电脑模拟驾驶,以某速度匀速行驶,记录下驾驶员的“停车距离”(驾驶员从看到意外情况到车子完全停下所需要的距离).无酒状态与酒后状态下的试验数据分别列于表1和表2.
表1
表2
已知表1数据的中位数估计值为26,回答以下问题.
(Ⅰ)求a,b的值,并估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数;
(Ⅱ)根据最小二乘法,由表2的数据计算y关于x的回归方程$\hat y=\hat bx+\hat a$;
(Ⅲ)该测试团队认为:驾驶员酒后驾车的平均“停车距离”y大于(Ⅰ)中无酒状态下的停车距离平均数的3倍,则认定驾驶员是“醉驾”.请根据(Ⅱ)中的回归方程,预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”?
(附:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回归直线$\hat y=\hat bx+\hat a$的斜率和截距的最小二乘估计分别为$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\bar x\bar y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{\bar x}^2}}}$,$\hat a=\bar y-\hat b\bar x$.)
表1
| 停车距离d(米) | (10,20] | (20,30] | (30,40] | (40,50] | (50,60] |
| 频数 | 26 | a | b | 8 | 2 |
| 平均每毫升血液酒精含量x毫克 | 10 | 30 | 50 | 70 | 90 |
| 平均停车距离y米 | 30 | 50 | 60 | 70 | 90 |
(Ⅰ)求a,b的值,并估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数;
(Ⅱ)根据最小二乘法,由表2的数据计算y关于x的回归方程$\hat y=\hat bx+\hat a$;
(Ⅲ)该测试团队认为:驾驶员酒后驾车的平均“停车距离”y大于(Ⅰ)中无酒状态下的停车距离平均数的3倍,则认定驾驶员是“醉驾”.请根据(Ⅱ)中的回归方程,预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”?
(附:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回归直线$\hat y=\hat bx+\hat a$的斜率和截距的最小二乘估计分别为$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\bar x\bar y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{\bar x}^2}}}$,$\hat a=\bar y-\hat b\bar x$.)
3.
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