Question

5．（1）求f（x）=tan（3x-$\frac{π}{4}$）的定义域；
（2）求函数y=lg（sinx）+$\sqrt{cosx-\frac{1}{2}}$的定义域；
（3）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，求f（0）

Answer 1

分析 （1）令3x-$\frac{π}{4}$≠$\frac{π}{2}$+kπ解出；
（2）令$\left\{\begin{array}{l}{sinx＞0}\\{cosx-\frac{1}{2}≥0}\end{array}\right.$解出；
（3）利用图象依次求出A，ω，φ，再计算f（0）．

解答 解：（1）由3x-$\frac{π}{4}$≠$\frac{π}{2}$+kπ得x≠$\frac{π}{4}$+$\frac{kπ}{3}$，
∴f（x）=tan（3x-$\frac{π}{4}$）的定义域为{x|x≠$\frac{π}{4}$+$\frac{kπ}{3}$，k∈Z}．
（2）由sinx＞0得2kπ＜x＜2kπ+π，
由cosx$-\frac{1}{2}$≥0得cosx$≥\frac{1}{2}$，∴-$\frac{π}{3}$+2kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+2kπ，
（2kπ，2kπ+π）∩[-$\frac{π}{3}$+2kπ，$\frac{π}{3}$+2kπ]=（2kπ，$\frac{π}{3}$+2kπ]．
∴求函数y=lg（sinx）+$\sqrt{cosx-\frac{1}{2}}$的定义域为{x|2kπ＜x≤$\frac{π}{3}$+2kπ，k∈Z}．
（3）由f（x）得图象可知-A=-$\sqrt{2}$，即A=$\sqrt{2}$，
由图象可知f（x）的周期T=4（$\frac{7π}{12}-$$\frac{π}{3}$）=π，即$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2．
又f（$\frac{7π}{12}$）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{7π}{6}$+φ）=-$\sqrt{2}$，∴sin（$\frac{7π}{6}$+φ）=-1，
∴$\frac{7π}{6}$+φ=-$\frac{π}{2}$+2kπ，解得φ=-$\frac{5π}{3}$+2kπ，
∴f（0）=$\sqrt{2}$sinφ=$\sqrt{2}$sin（-$\frac{5π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质，属于中档题．