Question

20．已知函数f'（x）是函数f（x）的导函数，$f（1）=\frac{1}{e}$，对任意实数都有f（x）-f'（x）＞0，则不等式f（x）＜e^x-2的解集为（　　）

• A． （-∞，e）
• B． （1，+∞）
• C． （1，e）
• D． （e，+∞）

Answer 1

分析 由已知f（x）-f'（x）＞0，可联想构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，利用导数得其单调性，把要求解的不等式转化为g（x）＜g（1）得答案．

解答 解：设g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，则g′（x）=$\frac{{e}^{x}•f′（x）-{e}^{x}•f（x）}{{e}^{2x}}$=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$．
∵对任意实数都有f（x）-f'（x）＞0，
∴g′（x）＜0，即g（x）为R上的减函数．
g（1）=$\frac{f（1）}{e}=\frac{1}{{e}^{2}}$．
由f（x）＜e^x-2，得$\frac{f（x）}{{e}^{x}}＜\frac{1}{{e}^{2}}$，即g（x）＜g（1）．
∵g（x）为R上的减函数，
∴x＞1．
∴不等式f（x）＜e^x-2的解集为（1，+∞）．
故选：B．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是解答该题的关键，是中档题．