Question

数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=2a_n-4n（n∈N^*）．
（1）证明数列{a_n+4}是等比数列；
（2）设bn=

an

λn

，其中λ＞0，若{b_n}为递减数列，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：等比关系的确定,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由S_n=2a_n-4n（n∈N^*）．利用当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为a_n+4=2（a_n-1+4），即可证明．
（2）由（1）可得：an=2n+2-4，bn=

an

λn

=

2n+2-4

λn

．{b_n}为递减数列，可得b_n+1＜b_n，即可得出．

解答： （1）证明：∵S_n=2a_n-4n（n∈N^*）．
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-4n-（2a_n-1-4n+4）=2a_n-2a_n-1-4，
化为a_n+4=2（a_n-1+4），
又当n=1时，a₁=S₁=2a₁-4，解得a₁=4．
∴数列{a_n+4}是等比数列，首项为8，公比为2；
（2）解：由（1）可得：an+4=8×2n-1，化为an=2n+2-4．
∴bn=

an

λn

=

2n+2-4

λn

，
∵{b_n}为递减数列，
∴b_n+1＜b_n，
∴

2n+3-4

λn+1

＜

2n+2-4

λn

，
又λ＞0，化为λ＞2+

4

2n+2-4

≥3，当n=1时取等号．
∴λ＞3．

点评：本题考查了等比数列的定义通项公式、数列的单调性，考查了变形能力与计算能力，属于难题．