Question

已知数列{a_n}满足：

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=n2(n∈N*)，令b_n=a_na_n+1，S_n为数列{b_n}的前n项和．
（1）求a_n和S_n；
（2）对任意的正整数n，不等式S_n＞λ-

1

2

恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：计算题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）先求出首项，再将n换成n-1，两式相减即可得到通项，再由裂项相消求和得到前n项的和；
（2）运用参数分离，根据数列{S_n}是单调递增数列，即可求出前n项和的最小值，从而得到实数λ的取值范围．

解答： 解：（1）由于

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=n2(n∈N*)，①
当n=1时，a₁=1；   
当n≥2时，

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an-1

=(n-1)2，②
则①-②得

1

an

=2n-1，即an=

1

2n-1

，
综上，an=

1

2n-1

，n∈N^*；
bn=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
则S_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]，
则Sn=

1

2

(1-

1

2n+1

)．    
（2）由Sn＞λ-

1

2

得λ＜Sn+

1

2

，
所以λ＜(Sn+

1

2

)min，
因为{S_n}是单调递增数列，所以当n=1时S_n取得最小值为

1

3

，
因此λ＜

5

6

．

点评：本题考查数列的通项和前n项和的求法，注意将下标变换相减法和裂项相消求和，同时考查不等式的恒成立问题转化为求数列的最值问题，属于中档题．