Question

符号[x]表示不超过x的最大整数，如[π]=3，[-1.08]=-2，定义函数f（x）=x-[x]，则  下列命题：
①函数f（x）的定义域为R，值域为[0，1]； 
②方程f（x）=

1

x

有无数多个解；
③函数f（x）是周期函数；
④函数f（x）是增函数．
其中正确的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：①求出函数{x}的取值范围，即可得出函数的值域；
②令{x}=x-[x]=

1

2

，求出对应x的值，有无数多个；
③根据周期函数的定义，判断函数{x}是周期函数；
④根据函数{x}的性质以及单调性的定义，判断该函数在整个定义域上无单调性．

解答： 解：①当0≤x＜1时，{x}=x-[x]=x-0=x，∴函数{x}的值域为[0，1），∴①错误；
②当x=

1

2

时，{x}=

1

2

，又∵函数{x}=x-[x]是周期为1的函数，∴x=

1

2

+k时（k∈Z），{x}=

1

2

，∴②正确；
③∵函数{x}的定义域为R，又∵{x+1}=（x+1）-[x+1]=x-[x]={x}，
∴函数{x}=x-[x]是周期为1的函数，∴③正确；
④∵函数{x}是周期为1的函数，∴函数{x}不是单调函数，∴④错误．
故选：B．

点评：本题考查了分段函数与函数值域的应用问题，也考查了新定义的函数{x}=x-[x]的意义，是综合性题目．