Question

【题目】已知圆，点，是圆上一动点，点在线段上，点在半径上，且满足.

（1）当在圆上运动时，求点的轨迹的方程；

（2）设过点的直线与轨迹交于点（不在轴上），垂直于的直线交于点，与轴交于点，若，求点横坐标的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】分析：（1）由直线为线段的垂直平分线，则，可得点的轨迹是以点为焦点，焦距为，长轴为的椭圆；

（2）由题意直线的斜率存在，设，于是直线的方程为，设，联立方程组，利用根与系数的关系得，设，所在直线方程为，令，得，利用，即可得出．

详解：（1）由题意知，直线为线段的垂直平分线，所以

所以点的轨迹是以点为焦点，焦距为4，长轴为4的椭圆，

，，，

故点的轨迹的方程为 .

（2）由题意直线的斜率存在设为,于是直线的方程为，

设，联立，得．

因为，由根与系数的关系得，

∴，，

设的横坐标为，则，

所在直线方程为，

令，得，·

于是，

即，

整理得，

，∴．