Question

【题目】在三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，，.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若底面是以为直角顶点的直角三角形，且，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2).

【解析】

(1)由菱形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，从而可得平面，进而可得结果；（2）由（1）可知，，，则，又，则平面，以为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立坐标系，求出平面的法向量与平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.

（1）证明：连接，∵四边形是菱形，且，

∴为等边三角形.

取的中点，连接，，则，

又∵，

∴，

∵，、平面，

∴平面，

又∵平面，

∴.

（2）由（1）及题意可知，，，则，又，则平面，以为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立如图所示的坐标系，

则，，，，，

∴，，，

∴，

∴，

∴，

设平面的法向量为，

则，可得，故可取.

设平面的法向量为，同理可取，

∴，

∴二面角的正弦值为.