Question

【题目】已知函数，其中a >2.

（I）讨论函数f(x)的单调性；

（II）若对于任意的，恒有，求a的取值范围.

（III）设，，求证：.

Answer 1

【答案】(1)f(x)的单调递增区间为，单调减区间为(1，a-1).(2)(2,5];(3)见解析.

【解析】分析：（I）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；；（II）对任意的，恒有，等价于，令，即函数在上为增函数，，∴恒成立，结合基本不等式，即可求实数的取值范围；（III） 由（I）可知当时，函数为减函数， ，由（II）知，即可证明结论.

详解：（I）函数f(x)的定义域为

令，则，即

解得或 ∵ ∴

由，解得0<x<1或x>a-1，

由，解得1<x<a-1

∴函数f(x)的单调递增区间为，单调减区间为(1，a-1).

（II）设，则不等式等价于·

整理得，

令

∴函数g(x)在x∈(0，+∞)上为增函数.

∵，∴恒成立

而

∴ ∵a>2 ∴

∴，即a的取值范围是（2，5].

（III）∵ 由（I）可知当时，函数f(x)为减函数，

而

那么 ∴

由（II）知

∴

即.