题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率为
，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
.
（1）求椭圆
的方程式；
（2）已知动直线
与椭圆
相交于
两点.
①若线段
中点的横坐标为
，求斜率
的值；
②已知点
，求证： 
为定值.
【答案】（1）
＋
＝1
（2）①±
②见解析
【解析】试题分析：（1）解：因为椭圆C满足
，根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
，可得
，据此即可求出椭圆C的标准方程；（2）①设
将
代入
中，消元得
，然后再利用韦达定理和中点坐标公式即可求出结果；②由①知
， 
，所以
代入韦达定理化简即可证明结果.
试题解析：（1）解：因为椭圆C： 
满足
，
根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
，
可得
．
从而可解得
，
所以椭圆C的标准方程为
．
（2）①解：设
将
代入
中，
消元得
，
， 
，
因为AB中点的横坐标为
，所以
，解得
．
②证明：由①知
， 
，
所以
．
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