Question

设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递减函数，并且同时满足下面两个条件：①对正数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）；②f（

1

2

）=1．
（1）求f（1）和f（4）的值；
（2）求满足f（3+x）+f（3-x）＞-2的x的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用赋值法即可求f（1）和f（4）的值；
（2）根据抽象函数的关系将不等式进行转化即可得到结论．

解答： 解：（1）令x=y=1⇒f（1）=0；令x=2，y=

1

2

⇒f（1）=f（2）+f(

1

2

)，
∴f（2）=-1，
再令x=y=2⇒f（4）=f（2）+f（2）=-2，∴f（1）=0，f（4）=-2．
（2）∵f（3+x）+f（3-x）=f（9-x²），
其中，

3+x＞0 3-x＞0

，又-2=f（4），
∴原不等式化为：f（9-x²）＞f（4），
又f（x）在（0，+∞）上为减函数，
∴

3+x＞0 3-x＞0 9-x2＜4

，∴-3＜x＜-

5

或

5

＜x＜3，
∴不等式解集为：（-3，-

5

）∪（

5

，3）．

点评：本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解集抽象函数的基本方法．