Question

不等式2x2+x≤4^3x-2的解集为M，求函数f（x）=log₂（2x）log₂

x

16

（x∈M）的值域．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：先根据给的不等式求出x的范围，然后再将f（x）化简成关于log₂x的二次函数的形式求范围．

解答： 解：不等式2x2+x≤43x-2可化为2x2+x≤22(3x-2)，即x²+x≤6x-4，解得M={x|1≤x≤4}
又f(x)=log2(2x)log2

x

16

=(log2x+1)(log2x-4)=(log2x)2-3log2x-4．
令log₂x=t（1≤x≤4），则0≤t≤2，则原函数化为y=t2-3t-4=(t-

3

2

)2-

25

4

，
所以当t=

3

2

取得最小值-

25

4

，当t=0时取最大值-4．
所以-

25

4

≤f(x)≤-4，所以函数f（x）的值域为[-

25

4

，-4]．

点评：本题综合考查了指数不等式的解法，强调化同底，以及二次函数在指定区间上的最值问题的处理方法．