Question

已知函数f（x）=2+log₃x的定义域是[1，9]，记函数y=[f（x）]²-f（x²）的值域为A．
（1）求集合A；
（2）设集合B={x|（x+a-1）（x-2a-5）＜0}，若B⊆A，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：集合的包含关系判断及应用

专题：计算题,函数的性质及应用,集合

分析：（1）y=[f（x）]²-f（x²）=（2+log₃x）²-（2+log₃x²）=（1+log₃x）²+1，配方法求函数的值域．
（2）讨论B是否是空集，再由

2≤1-a≤10 2≤2a+5≤10

解出．

解答： 解：（1）y=[f（x）]²-f（x²）=（2+log₃x）²-（2+log₃x²）=（1+log₃x）²+1，
∵函数f（x）=2+log₃x的定义域是[1，9]，
∴1≤1+log₃x≤3，
∴2≤（1+log₃x）²+1≤10，即值域A=[2，10]；
（2）若a=-

4

3

，则B=∅，成立；
若a≠-

4

3

，∵B⊆A，
∴

2≤1-a≤10 2≤2a+5≤10

，
解得，-

7

2

≤a≤-1，
综上所述，-

7

2

≤a≤-1．

点评：本题考查了函数的值域的求法及集合的包含关系的应用，属于基础题．