Question

16．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e＞$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$的概率是$\frac{5}{18}$．

Answer 1

分析 先求出基本事件总数n=6×6=36，由椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e＞$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，得到a＞$\frac{3}{2}b$，由此利用列举法能求出满足椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e＞$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$的概率．

解答 解：某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，
基本事件总数n=6×6=36，
∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e＞$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，
∴e=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}＞\frac{\sqrt{5}}{3}$，推导出a＞$\frac{3}{2}b$，
∴满足椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e＞$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$的基本事件有：
（2，1），（3，1），（4，1），（4，2），（5，1），（5，2），（5，3），（6，1），（6，2），（6，3），
共有10个，
∴椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e＞$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$的概率为p=$\frac{10}{36}=\frac{5}{18}$．
故答案为：$\frac{5}{18}$．

点评 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式和列举法的合理运用．