Question

1．已知函数f（x）=|x+1|+|x-5|的最小值为m
（1）求m的值；
（2）若a，b，c为正实数，且a+b+c=m，求证：a²+b²+c²≥12．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，求出f（x）的最小值即m的值即可；
（2）根据（a²+b²+c²）（1²+1²+1²）≥（a+b+c）²=36，可得 a²+b²+c² 的最小值为12．

解答 解：（1）f（x）=|x+1|+|x-5|，
x≥5时，f（x）=x+1+x-5=2x-4，此时f（x）的最小值是6，
-1≤x≤5时，f（x）=x+1-x+5=6，
x≤-1时，f（x）=-x-1-x+5=-2x+4，此时f（x）的最小值是6，
故f（x）的最小值是6，故m=6；
（2）由（1）得a+b+c=6，
因为a，b，c 均为正实数，由柯西不等式得，
（a²+b²+c²）（1²+1²+1²）≥（a+b+c）²=36，当且仅当a=b=c=2时等号成立，
∴a²+b²+c² 的最小值为12．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查柯西不等式的应用，是一道中档题．