Question

8．在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且cos2B-cos2A=2sinC•（sinA-sinC）．
（1）求角B的大小；
（2）若$b=\sqrt{3}$，求2a+c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知可得sin²A+sin²B-sin²C=sinA•sinC．即a²+c²-b²=ac，$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{1}{2}$，可得$B=\frac{π}{3}$．
（2）2a+c=2R（2sinA+sinC）=5sinA+$\sqrt{3}$cosA=2$\sqrt{7}$sin（A+φ）
其中，sinφ=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$，cosφ=$\frac{5}{2\sqrt{7}}$，$φ∈（0，\frac{π}{3}）$
由$A+φ∈（φ，\frac{2π}{3}+φ）$，得2$\sqrt{7}$sin（A+φ）∈（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{7}$]．即$2a+c∈（\sqrt{3}，2\sqrt{7}]$

解答 解：（1）由cos2B-cos2A=2sinC•（sinA-sinC），可得sin²A+sin²B-sin²C=sinA•sinC．
根据正弦定理得a²+c²-b²=ac，
由余弦定理，得$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{1}{2}$，∵0＜B＜π，∴$B=\frac{π}{3}$．
（2）由（1）得：2R=$\frac{b}{sinB}=2$，
2a+c=2R（2sinA+sinC）=2[2sinA+sin（$\frac{2π}{3}-A$）]=5sinA+$\sqrt{3}$cosA=2$\sqrt{7}$sin（A+φ）
其中，sinφ=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$，cosφ=$\frac{5}{2\sqrt{7}}$，$φ∈（0，\frac{π}{3}）$
∵A$∈（0，\frac{2π}{3}$），∴$A+φ∈（φ，\frac{2π}{3}+φ）$，
∴当$A+φ=\frac{π}{2}$时，${（2a+c）_{max}}=2\sqrt{7}$，
当$A+φ=\frac{2π}{3}+φ$时，$（2a+c）=2\sqrt{3}$，
当A+φ=φ时，$（2a+c）=\sqrt{3}$．所以2$\sqrt{7}$sin（A+φ）∈（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{7}$]．
即$2a+c∈（\sqrt{3}，2\sqrt{7}]$

点评 本题考查了三角恒等变形，正余弦定理的应用，属于中档题．